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CBSE - MCQ Question Banks (के. मा. शि. बो . -प्रश्नमाला )

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Q. 166201

A. 63

B. 255

C. 256

D. 257

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166202

A. 581

B. 2443

C. 12219

D. 256599

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166203 गणितीय आगमन (mathematical induction) का प्रथम बार नाम रखने और उसकी परिभाषा प्रस्तुत करने वाले व्यक्ति थे:

A. ग्यूसेप पियानो (G.Peano)

B. ब्लेज पास्कल

C. जॉन वॉलिस

D. डी मॉर्गन

Right Answer is: D

SOLUTION

‘mathematical induction’ (गणितीय आगमन) शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग ऑगस्टस डि मॉर्गन (1806-1871) ने 1838 में Penny Cyclopedia के लिए लिखे अपने लेख Induction (Mathematics) में किया था। डि मॉर्गन ने इस लेख में successive induction नाम का सुझाव पेश किया था और mathematical induction शब्द का प्रयोग केवल प्रसंगवश ही किया था। जब डेडेकिंड ने 1887 में एक समाचारपत्र में complete induction शब्द का प्रयोग किया, तो यह जर्मनी में प्रचलित होने लगा।

Q. 166204 Induction शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग___ने किया था।

A. पाइथागोरस

B. ब्लेज पास्कल

C. जॉन वॉलिस

D. ग्यूसेप पियानो (G.Peano)

Right Answer is: C

SOLUTION

‘induction’ शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग जॉन वॉलिस ने 1656 में (Arithmetica Infinitorum) नामक अपनी पुस्तक में (per modum inductionis) के रूप में किया था। वॉलिस इस प्रक्रिया के लिए नाम निर्धारित करने वाले प्रथम व्यक्ति थे।

Q. 166205 गणितीय आगमन के सिद्धांत को प्रारंभ करने का श्रेय______को है।

A. पाइथागोरस

B. ब्लेज पास्कल

C. जॉन वॉलिस

D. डि मॉर्गन

Right Answer is: B

SOLUTION

पास्कल्स ट्रीटाइज में गणितीय आगमन का सिद्धांत प्रस्तुत किया गया है। पास्कल ने त्रिभुज की संख्याओं के संबंध में उपपत्तियों (proofs) के विशेष संदर्भ में इस सिद्धांत का उल्लेख किया है। गणितीय आगमन का मूलभूत विचार मध्यकालीन युग में इस्लामिक गणित के क्षेत्र में और चौदहवीं सदी के दक्षिणी यूरोप में प्रारंभ हुआ था। लेकिन, “पास्कल्स ट्रीटाइज” प्रथम पुस्तक है, जिसने आधुनिक गणित में उपपत्ति की इस अत्यंत महत्वपूर्ण विधि पर पूर्ण और स्पष्ट रूप से प्रकाश डालते हुए इसका औचित्य सिद्ध किया है। गणितीय आगमन आश्चर्यजनक रूप से बुद्धिमत्तापूर्व एक विधि है, जो हमें अनंत रूप से परस्पर जुड़ी हुई अनेक घटनाओं के संबंध में सभी दावों को तुरंत सिद्ध करने देती है, जबकि उनमें से एक ही दावे को पृथक रूप से सिद्ध करना अत्यंत कठिन होता है।

Q. 166206 किसी समुच्चय S को एक आगमनिक समुच्चय (inductive set) कहा जाता है, यदि:

Right Answer is: C

SOLUTION

संक्षेप में, निगमन एक ऐसा दिया गया कथन है, जिसे सिद्ध किया जाना है और जिसे प्रायः एक अनुमानित कथन (conjecture) या प्रमेय (theorem) कहा जाता है। गणित में, तर्कसंगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है अथवा नहीं की जा सकती है अर्थात निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।

Q. 166207 आगमन तर्क (Induction reasoning) ____का अनुप्रयोग है।

A. व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति

B. विशेष स्थिति से व्यापक स्थिति

C. व्यापकीकरण की स्थिति

D. स्थापन (establishment) की स्थिति

Right Answer is: B

SOLUTION

आगमन तर्क विशेष प्रेक्षणों से प्रारंभ होता है और व्यापक व्यापकीकरणों (generalisations) और प्रमेयों तक पहुँचता है। अनौपचारिक रूप से, हम कभी-कभी इसे "ऊपर से नीचे" दृष्टिकोण कहते हैं।

Q. 166208 निगमनिक तर्क (Deduction reasoning) एक ____का अनुप्रयोग है।

A. व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति

B. विशेष स्थिति से व्यापक स्थिति

C. व्यापकीकरण (generalization) की स्थिति

D. विशेष स्थिति

Right Answer is: A

SOLUTION

Q. 166209 यदि xⁿ – 4, x – k द्वारा विभाज्य है, तो k का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान (least positive integral value) है:

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Right Answer is: A

SOLUTION

माना कि P(n): xⁿ - 4 = λ (x - k)
P(1): x - 4 = λ₁ (x - k)
P(2): x² - 4 = λ₂ (x - k)
P(2): (x - 2)(x + 2) = λ₂ (x - k)
अतः, k=2

Q. 166210

A. n > 1

B. n ≥ 1

C. n > 2

D. n ≥ 2;

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166211 निम्न में से कौन सा व्यंजक aⁿ + bⁿको विभाजित करता है, जब n एक विषम धनात्मक पूर्णांक (odd positive integer) है?

A. a – b

B. a + b

C. 2a – b

D. 2a + b

Right Answer is: B

SOLUTION

माना कि P(n) : aⁿ + bⁿ, तो P (1) ; a + b ⇒ P (2) ; a² + b² ⇒ P (3) ; a³ + b³ = (a + b)(a²– ab + b²) ⇒ P (4); a⁴ + b⁴ अतः, P (n), (a + b) द्वारा विभाज्य है, क्योंकि n विषम है और (a+b) द्वारा विभाज्य नहीं है, यदि n सम है।

Q. 166212 n ∈ N के लिए, n⁵ + n³ + n है

A. एक पूर्णांक (integer)

B. एक प्राकृत संख्या (a natural number)

C. एक धनात्मक भिन्न (positive fraction)

D. एक विषम संख्या (odd number)

Right Answer is: B

SOLUTION

सभी प्राकृत संख्याओं का योग प्राकृत संख्या होती है।

Q. 166213 यदि n ∈ N, तो 7²ⁿ + 23n^–33^n–1 ____द्वारा विभाज्य है।

A. 25

B. 35

C. 45

D. 55

Right Answer is: A

SOLUTION

माना कि P(n) : 7²ⁿ + 2^3n–33^n–1, तो P (1) : 49 + 2⁰.3⁰ = 49 + 1
= 50
= 25 × 2 P (2) : 7^2.2 + 2^6–3 .3^2–1= 2401 + 24 = 2425
= 25 × 97 P (3) : 7⁶+ 2⁶.3² = 117649 + 576
= 118225
= 25 × 4729 जो कि केवल 25 द्वारा विभाज्य हैं।

Q. 166214 प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, 3n > n³ जब:

A. n > 2

B. n ≥ 3

C. n ≥ 4

D. n < 4

Right Answer is: C

SOLUTION

n = 1,   3 > 1
n = 2,   3² > 2³
n = 3,   3³ = 3³
n = 4,   3⁴ > 4³
n = 5,   3⁵ > 5³
यह n ≥ 4 के लिए सही है।

Q. 166215 तीन क्रमागत प्राकृत संख्याओं (consecutive natural numbers) का गुणनफल (product)____द्वारा विभाज्य है।

A. 5

B. 7

C. 6

D. 4

Right Answer is: C

SOLUTION

माना कि P(n): n(n + 1)(n+ 2)
P(1): (1)(2)(3) = 6 P(2): (2)(3)(4) = 24 P(3): (3)(4)(5) = 60
यहाँ हम देखते हैं कि P(1), P(2) और P(3), 6 द्वारा विभाज्य हैं।

Q. 166216

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166217 यदि P(n) एक कथन है: aⁿ+ abⁿ, a द्वारा विभाज्य है, तो सिद्ध कीजिए कि P(1) और P(2) सही हैं।

Right Answer is:

SOLUTION

P(n) : aⁿ+ abⁿ, जो a द्वारा विभाज्य है।

P(1) : a + b, जो a द्वारा विभाज्य है।

P(2): a² + ab²= a(a + b²), जो a द्वारा विभाज्य है।

अतः P(1) और P(2) सही हैं।

Q. 166218 माना कि P(n): n(n+1)(n+2), 6 द्वारा विभाज्य है। सिद्ध कीजिए कि P(1), P(2) और P(3) सही हैं।

Right Answer is:

SOLUTION

यहाँ

P(n) = n(n + 1)(n + 2)

P(1) = 1(1 + 1)(1 + 2) = 6, जो कि 6 द्वारा विभाज्य है।

P(2) = 2(2 + 1)(2 + 2) = 24, जो कि 6 द्वारा विभाज्य है।

P(1) = 3(3 + 1)(3 + 2) = 60, जो कि 6 द्वारा विभाज्य है।

अतः P(1), P(2) और P(3) सही हैं।

Q. 166219 सिद्ध कीजिए कि a²ⁿ -b²ⁿ (a, b विशिष्ट परिमेय संख्याएँ हैं), a - b द्वारा विभाज्य है (n =1, 2 और 3 के लिए)।

Right Answer is:

SOLUTION

n = 1 के लिए,

a²ⁿ -b²ⁿ = a – b, जो a – b द्वारा विभाज्य है।

n = 2 के लिए,

a²ⁿ -b²ⁿ = a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) = (a - b)(a + b)(a² + b²), जो a – b द्वारा विभाज्य है।

n = 3 के लिए,

a²ⁿ -b²ⁿ = a⁶ - b⁶ = (a² - b²)(a² + b²+ ab) = (a - b)(a + b)(a² + b²+ ab), जो a – b द्वारा विभाज्य है।

Q. 166220 यदि P(n) : 7²ⁿ+ 2^{3n - 3} 3^{n - 1}, 25 द्वारा विभाज्य है, तो सिद्ध कीजिए कि P(1) और P(2) सही हैं।

Right Answer is:

SOLUTION

P(n) : 7²ⁿ+ 2^{3n - 3} 3^{n - 1}

P(1) : 7²+ 2^{3 - 3} 3^{1- 1}= 49 + 2⁰ 3⁰= 49 + 1 = 50

P(2) : 7^2.2+ 2^{3.2 - 3} 3^{2- 1}= 2401 + 24= 2425

जो केवल 25 द्वारा विभाज्य है।

Q. 166221 सिद्ध कीजिए: सभी धनात्मक पूर्णांकों (positive integers) n के लिए 2ⁿ > n

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166222 सिद्ध कीजिए कि 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n +1) = n( n +1)(n + 2)/3.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166223

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166224 सिद्ध कीजिए कि सभी n /stryde/uploadfiles/mathimage/2007/07/09/49.gif

N के लिए, 7ⁿ - 3ⁿ_, 4 द्वारा विभाज्य है।

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166225 गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि
: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/09/200707093598900011839825161702mt-10.gif

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166226 सिद्ध कीजिए कि /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/09/200707093897950011839829401702mt-15.gif

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166227

Right Answer is: A

SOLUTION

Q. 166228

A. एक मात्र काल्पनिक संख्या (Purely Imaginary Number)

C. एक मात्र वास्तविक संख्या (Purely Real Number)

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166229

A. 1

B. –1

C. i

D. –i

Right Answer is: A

SOLUTION

Q. 166230

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166231 द्विघातीय समीकरण (quadratic equation) x²+ ix + 2 = 0 के हल हैं:

–2i, i

2i, –i

0, –i

–1, 1

Right Answer is: A

SOLUTION

/stryde/uploadfiles/Image/2010/07/09/20100709145563001278660753image092.gif

Q. 166232 यदि z₁= 1+i और z₂= 1-i, तो z₁/z₂ ____के बराबर है।

-i

Right Answer is: D

SOLUTION

Q. 166233 यदि x-y - i(x+y)=1+i, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं, तो x और y के मान क्रमशः हैं:

1 और -1

1 और 0

-1 और 0

0 और -1

Right Answer is: D

SOLUTION

वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग को समान लेने पर (Equating), हम प्राप्त करते हैं:
x-y = 1 और x+y =-1
इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: x = 0 और y=-1

Q. 166234 -2 का मुख्य आयाम (principal argument) है:

π/2

–π/2

Right Answer is: A

SOLUTION

Q. 166235

Right Answer is: D

SOLUTION

/stryde/uploadfiles/Image/2010/06/13/20100613300167001276429668image046.gif

Q. 166236

A. 18

– 18

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166237 सम्मिश्र संख्या z = 5+2i का वास्तविक भाग (real part) है:

C. 3

Right Answer is: B

SOLUTION

सम्मिश्र संख्या z = a+bi के लिए a को वास्तविक भाग (real part) और b को काल्पनिक भाग (imaginary part) कहा जाता है। इसीलिए z = 5 + 2i का वास्तविक भाग 5 है|

Q. 166238 k का न्यूनतम पूर्णांक मान (least integral value), जो समीकरण x²+ 2x + k = 0 के मूलों (roots) को काल्पनिक (imaginary) बनाता है, होगा:

-1

Right Answer is: D

SOLUTION

Q. 166239 (1+i²⁰) (1+i¹⁵) (1+i¹⁰) (1+i⁵) (1+i²) का मान है:

-i

Right Answer is: B

SOLUTION

हम जानते हैं कि, i² = –1
अतः, 1+i² = 0 इस प्रकार, (1+i²⁰) (1+i¹⁵) (1+i¹⁰) (1+i⁵) (1+i²) = 0

Q. 166240 (-1)^(8n+3)/2 , जहाँ n एक धन पूर्णांक (Positive Integer) है, ____के बराबर है:

-1

-i

Right Answer is: D

SOLUTION

/stryde/uploadfiles/Image/2010/06/05/20100605543616001275736982image054.gif

Q. 166241

-16

D. 2i

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166242

Right Answer is: D

SOLUTION

Q. 166243 यदि 25-10i का संयुग्मी (conjugate) (x-iy)(5i) है, तो x और y के मान क्रमशः ज्ञात कीजिए।

2, -5

2, 5

5, 2

5, -2

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166244 1-2i का गुणात्मक प्रतिलोम (multiplicative inverse) है:

Right Answer is: D

SOLUTION

Q. 166245

A. /stryde/uploadfiles/mathimage/2008/01/03/16.gif /3

B. 2 /stryde/uploadfiles/mathimage/2008/01/03/16.gif /3

D. /stryde/uploadfiles/mathimage/2008/01/03/16.gif /2

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166246 तीन बिंदु Z₁, Z₂, Z₃संबंध a Z₁ + b Z₂ + cZ₃ = 0 द्वारा सम्बंधित हैं। Z₁,Z_2,Z₃सम्मिश्र संख्याएँ (Complex numbers) हैं और a + b + c = 0, तो बिंदु हैं:

संरेख (collinear)

असंरेख (non-collinear)

रैखिक रूप से स्वतंत्र (linearly independent)

असमतलीय (non-coplanar)

Right Answer is: A

SOLUTION

aZ₁ + bZ₂ +cZ₃ =0
/stryde/uploadfiles/Image/2007/08/19/20070819394189001187523845image161.gif aZ₁ + bZ₂ – (a + b)Z₃ = 0
Z₃ = (aZ₁ + bZ₂)/(a+b) Z₁, Z₂, Z₃ संरेख हैं।

Q. 166247

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/17/20070817861189001187333325170202.gif

Q. 166248

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166249

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166250

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166251 यदि 2x+ i (x - y) = 5 , जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

यहाँ, 2x+ i(x - y) = 5
या 2x+ i(x - y) = 5 + 0.i
वास्तविक भाग (real part) और काल्पनिक भाग (imaginary part) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

2x = 5 और x - y = 0
Description: /stryde/uploadfiles/mathimage/2007/07/09/47.gif x = 5/2 और x = y

इस प्रकार, x = y = 5/2.

Q. 166252

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166253

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166254 किसी परीक्षा के एक प्रश्नपत्र में 12 प्रश्न हैं, जो क्रमशः 5 तथा 7 प्रश्नों वाले दो खंडों में विभक्त हैं अर्थात खंड I और खंड II. एक विद्यार्थी को प्रत्येक खंड से न्यूनतम 3 प्रश्नों का चयन करते हुए कुल 8 प्रश्नों को हल करना है। एक विद्यार्थी कितने प्रकार से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

विद्यार्थी निम्नलिखित प्रकार से 8 प्रश्नों का चयन कर सकते हैं:

I (5 प्रश्न) II (7 प्रश्न)

(a) 3 5

(b) 4 4

यदि चयन के तरीकों की अभीष्ट संख्या P है, तो

Q. 166255 15 विद्यार्थियों की एक कक्षा से, 10 का चयन एक भ्रमण-दल (excursion party) के लिए किया जाता है। 3 विद्यार्थी ऐसे हैं, जिन्होंने यह निर्णय लिया है कि या तो वे तीनों दल में शामिल होंगे या उनमें से कोई भी दल में शामिल नहीं होगा। भ्रमण-दल का चयन कितने प्रकार से किया जा सकता है?

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

यहाँ दो प्रकार की स्थितियाँ हैं:

(a) यदि तीनों विद्यार्थी भ्रमण-दल में शामिल होते हैं, तो संचयों (combinations) की संख्या होगी

C₁= C(12, 7)

(b) यदि तीनों विद्यार्थी भ्रमण-दल में शामिल नहीं होते हैं, तो संचयों की संख्या होगी

C₂= C(12, 10)

यदि भ्रमण-दल का चयन करने का संचय C है, तो

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/10/20070710644199001184043543170201.gif

Q. 166256 PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि:

(i) चयनित शब्द का प्रारंभ P से तथा अंत S से होता है?

(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं?

(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

(i) P और S के बीच के अक्षर हैं: E, R, M, U, T, A, T, I, O, N

इन 10 अक्षरों में 'T' दो बार है।

इन अक्षरों को Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/10/20070710320720001184043620170201.gif = 1814400 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

(ii) PERMUTATIONS शब्द में 12 अक्षर हैं, जिनमें 'T' दो बार है।

अब स्वर a, e, i, o, u एक साथ रखे जाते हैं।

आइए! इन स्वरों को हम एक समूह मानते हैं।

इस प्रकार, यहाँ 7 अक्षर और स्वरों का 1 समूह है, जिनमें T दो बार है।

अतः, विन्यासों (arrangements) की संख्या

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/10/20070710320720001184043620170202.gif

(iii) PERMUTATIONS शब्द में कुल 12 अक्षर हैं, जिन्हें 12 स्थानों पर व्यवस्थित करना है, जैसा कि नीचे प्रदर्शित किया गया है।

P को स्थान संख्या 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 में भरा जा सकता है और इसलिए S को बीच में चार स्थान छोड़ते हुए स्थान संख्या 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 में भरा जा सकता है।

अब P और S को 7 तरीकों से भरा जा सकता है। इसी प्रकार, S और P को भी 7 तरीकों से भरा जा सकता है।

इस प्रकार, P और S या S और P को 7 + 7 = 14 तरीकों से भरा जा सकता है।

अब, शेष 10 स्थान E, R, M, U ,T, A, T, I, O, N द्वारा Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/10/20070710320720001184043620170201.gif तरीकों से भरे जा सकते हैं।

अतः, P और S के बीच सदैव 4 अक्षर होने के तरीकों की संख्या

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/07/10/20070710320720001184043620170203.gif

Q. 166257

A. संभव नहीं

B. पहला पद

C. दूसरा पद

D. तीसरा पद

Right Answer is: A

SOLUTION

Q. 166258 यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में A और B क्रमशः x^r और x^n-r के गुणांक हैं, तो A ____के बराबर है।

-A

-B

Right Answer is: B

SOLUTION

माना कि, A =(1 + x)ⁿ के प्रसार में x^r का गुणांक =ⁿC_r, और B = (1 + x)ⁿ के प्रसार में x^n-r का गुणांक = ⁿC_n-r अब, ⁿC_r=ⁿC_n-r का यह तात्पर्य है कि A = B

Q. 166259 (1 + x)¹⁰ के प्रसार में अधिकतम गुणांक (greatest coefficient) होगा:

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166260 (y²+ c/y)⁵ के प्रसार में y का गुणांक होगा:

10c

10c²

10c³

10c⁴

Right Answer is: C

SOLUTION

Q. 166261 (1 + 2x + 3x²+…)^-3/2 के प्रसार में x⁵ का गुणांक होगा:

Right Answer is: A

SOLUTION

दिया गया है कि, (1 + 2x + 3x²+…)^-3/2= [(1 - x)^-2]^-3/2 = (1 - x)³ अतः, x⁵का गुणांक = 0

Q. 166262 माना कि n एक धनात्मक पूर्णांक (positive integer) है। यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में दूसरे, तीसरे और चौथे पदों के गुणांक (coefficients) समांतर श्रेणी (AP) में हैं, तो n का मान होगा:

Right Answer is: C

SOLUTION

परिकल्पना (hypothesis) का प्रयोग करने पर, ⁿC_1, ⁿC₂, ⁿC₃ समांतर श्रेणी (AP) में हैं। हम जानते हैं कि, (यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं, तो b = (a + c)/2). अतः,

n(n – 1) = n + [n(n – 1)(n – 2)/6]
या 6n– 6 = 6 + n²– 3n + 2
या n²- 9n + 14 = 0
या (n - 7)(n - 2)=0
या n = 7, - 2(संभव नहीं) अतः, n=7

Q. 166263 यदि (x^-1 + x²)ⁿ के प्रसार में, पहले, दूसरे और तीसरे पदों के गुणांकों का योग 46 है, तो n ____के बराबर है।

Right Answer is: C

SOLUTION

हमें ज्ञात है कि (x^-1 + x²)ⁿ के प्रसार में, पहले, दूसरे और तीसरे पदों के गुणांकों का योग है: ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂= 46 अतः, 1 + n + n(n – 1)/2 = 46
2 + 2n + n²- n = 92
या n² + n + 2 = 92
या n² + n – 90 = 0
या (n + 10)(n - 9)=0
या n = 9

Q. 166264 यदि n सम (even) है और rवें पद का (1+x)ⁿ के द्विपद प्रसार (Binomial expansion) में अधिकतम गुणांक (greatest coefficient) है, तो:

A. r= n/2 +1

B. r= n/2

C. r= n/2 -1

r = 2n + 1

Right Answer is: A

SOLUTION

T_r = ⁿC_r–1 x^r-1 ⁿC_r-1अधिकतम है, यदि r-1 = n/2 (n सम है) r= n/2+1

Q. 166265 (x⁴- 1/x³)¹⁵ के प्रसार में, x³⁹ का गुणांक है:

1365

455

-455

–1365

Right Answer is: C

SOLUTION

(x⁴- 1/x³)¹⁵ के प्रसार में व्यापक पद है: T_r+1 = ¹⁵ C_r (x⁴)^15-r (-1/x³)^r = ¹⁵ C_r (x)^60-7r (-1)^r x³⁹के लिए 60-7r = 39 Description: /stryde/uploadfiles/mathimage/2008/01/03/47.gif r= 3 अतः, x³⁹ का गुणांक =¹⁵ C₃ (-1)³ = -455

Q. 166266 (2x-3y)⁹ के प्रसार में पदों की संख्या है:

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Right Answer is: D

SOLUTION

(x + a)ⁿ के प्रसार में (n+1) पद हैं। अतः,

(2x - 3y)⁹ के प्रसार में 10 पद हैं।

Q. 166267 यदि एक (unity) से तुलना करने पर x इस प्रकार इतनी अधिक छोटी संख्या है कि Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/19/20070819398728001187498729300101.gif

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/19/20070819398728001187498729300101.gif

, तो a और b के मान हैं:

a=1, b= 5/6

B. a=1, b= -5/6

C. a=1, b= 5/3

a=1, b= -5/3

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166268 द्विपद प्रसार (Binomial expansion) (a+b)ⁿ में यदि n विषम (odd) है, तो उसमें मध्य पदों की संख्या होगी:

Right Answer is: B

SOLUTION

n विषम है, इसलिए n+1 सम (even) होगा। अतः, यहाँ 2 मध्य पद हैं: [(n+1)/2] वाँ पद और [(n+1)/2 + 1]वाँ पद

Q. 166269 यदि x धनात्मक (positive) है, तो (1+x) ^27/5 के प्रसार में पहला ऋणात्मक पद (negative term) है:

A. छठा पद

B. सातवाँ पद

C. पाँचवाँ पद

D. आठवाँ पद

Right Answer is: D

SOLUTION

r>32/5 ( Description: /stryde/uploadfiles/mathimage/2007/08/19/76.gif n= 27/5) r=7 अतः, पहला ऋणात्मक पद T₈अर्थात आठवाँ पद है।

Q. 166270 (1+ax)⁴ और (1-ax)⁶ के x की घातों (powers) में द्विपद प्रसार (Binomial expansion) में मध्य पद का गुणांक (coefficient) समान होता है, यदि a _____के बराबर होता है।

A. -3/10x

B. -3/5x

C. -2/3x

D. -5/3x

Right Answer is: A

SOLUTION

(1+ax)⁴ के प्रसार में मध्य पद = ⁴C₂(ax)²=6a²x² (1-ax)⁶ के प्रसार में मध्य पद = ⁶C₃(-ax)³= - 20a³x³ दिए गए समीकरण के अनुसार 6a²x²= - 20a³x³ a = -3/10x.

Q. 166271 (x² - y)⁶ के प्रसार में व्यापक पद है:

(-1)^r.⁶C_r.x^12-2ry^r.

6C_r(x²).y^r.

⁶C_r(x²).x^12-2r.

⁶C_r(x²).x^12-r.

Right Answer is: A

SOLUTION

प्रसार में व्यापक पद दिया गया है: T_r+1= ⁶C_r(x²)^6-r.(-y)^r , [T_r+1= ⁿC_r(a)^n-r.(b)^rका प्रयोग करने पर] = (-1)^r.⁶C_r.x^12-2ry^r

Q. 166272
(x/3 + 9y)¹⁰ के प्रसार में मध्य पद है:

6123x⁵y⁵

B. 6126x⁵y⁵

C. 61236x⁵y⁵

61263x⁵y⁵

Right Answer is: C

SOLUTION

प्रसार में पदों की संख्या है: 10 + 1 = 11 प्रसार का मध्य पद है: T₆ [ (11+1)/2= 6] T_r+1= ¹⁰C_r(x/3)^10-r(9y)^r ...(i) किन्तु r + 1 = 6, r = 5 (i) में r = 5 रखने पर, हम प्राप्त करते हैं: Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/19/20070819785000001187496313300101.gif

Q. 166273

Right Answer is: A

SOLUTION

यहाँ, हमें ज्ञात है कि T₂ = 14 a^5/2 Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/18/20070818856775001187438558300102.gif

Q. 166274 3 पुरस्कार 5 लड़कों में बाँटे जाने हैं। कोई भी लड़का सभी पुरस्कार प्राप्त न करे, ऐसे तरीकों की संख्या कितनी होगी?

243

125

120

Right Answer is: C

SOLUTION

सभी पुरस्कारों को बाँटने के तरीकों की संख्या = 5 × 5 × 5 = 125
एक लड़के द्वारा सभी पुरस्कार प्राप्त करने के तरीकों की संख्या = 5
अतः, तरीकों की अभीष्ट संख्या = 125 - 5 = 120

Q. 166275 एक कक्षा का प्रत्येक विद्यार्थी एक-दूसरे को बधाई पत्र (greeting cards) भेजता है। यदि डाकिया कुल 1640 बधाई पत्र बाँटता है, तो विद्यार्थियों की संख्या क्या है?

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166276 5 वृत्त और 5 सरल रेखाएँ (straight lines) जिन बिंदुओं पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद (intersect) करती हैं, उनकी अधिकतम संख्या क्या है?

A. 25

Right Answer is: D

SOLUTION

5 रेखाएँ = 10 बिंदुओं पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। 5 वृत्त = 20 बिंदुओं पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्रत्येक रेखा 5 वृत्तों को 10 बिंदुओं पर काटती है, अतः 5 रेखाएँ 5 वृत्तों को 50 बिंदुओं पर काटती हैं। अतः, बिंदुओं की अभीष्ट संख्या = 10 + 20 +50 = 80

Q. 166277 षट्भुज (hexagon) के कोणीय बिंदुओं (angular points) को मिलाने से बनने वाले त्रिभुजों की संख्या क्या है?

Right Answer is: A

SOLUTION

क्योंकि षट्भुज में 6 कोणीय बिंदु होते हैं, अतः त्रिभुजों की अभीष्ट संख्या = ⁶C₃ = 20

Q. 166278 INDEPENDENCE शब्द के सभी अक्षरों का प्रयोग करके बनाए जा सकने वाले विभिन्न शब्दों की संख्या क्या है?

479001600

39916800

1663200

199750400

Right Answer is: C

SOLUTION

दिए गए शब्द INDEPENDENCE में 12 अक्षर हैं, जिनमें 2 D, 4 E और 3 N हैं। अतः, शब्दों की अभीष्ट संख्या=

Q. 166279 यदि (n + 1)! = 5n!, तब n का मान क्या है?

Right Answer is: A

SOLUTION

Description: Description: Description: /stryde/uploadfiles/Image/2010/03/11/20100311743417001268296701image008.gif

Q. 166280 7 लड़कों और 6 लड़कियों को एक पंक्ति में इस प्रकार से बैठाना है कि सभी लड़कियाँ कभी भी एक साथ न हों। संभव भिन्न-भिन्न विन्यास (arrangements) हैं:

13! – 8!×6!

13! – 8!

13! – 6!

8! × 6!

Right Answer is: A

SOLUTION

भिन्न-भिन्न विन्यासों की अभीष्ट संख्या = विन्यासों की कुल संख्या – ऐसे विन्यासों की कुल संख्या, जिनमें सभी लड़कियाँ सदैव एक साथ हों
= 13!- 8!×6!

Q. 166281 यदि P_n,(1 + x)ⁿ के प्रसार (expansion) में सभी गुणांकों (coefficients) के गुणनफल (product) को निरुपित करता है और 9 ! P_{n + 1} = 10⁹ , तो n का मान क्या है?

199

Right Answer is: A

SOLUTION

9! [^{n + 1}C₀ . ^{n + 1}C₁ ........^{n + 1}C_{n + 1}] = 10⁹ [ⁿC₀ . ⁿC₁......ⁿC_n]
Description: Description: Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/19/20070819119073001187503991171201.gif

Q. 166282 कक्षा X के चार विद्यार्थी, कक्षा XI के पाँच विद्यार्थी और कक्षा XII के छह विद्यार्थी एक पंक्ति में बैठते हैं। एक पंक्ति में विद्यार्थियों के बैठने के तरीकों की संख्या क्या होगी, यदि एक ही कक्षा के विद्यार्थी एक साथ बैठाए जाएँ?

3! × 4! × 5! × 6!

3 × 4! × 5! × 6!

4! × 5! × 6!

Right Answer is: A

SOLUTION

विद्यार्थियों को तीन समूह मानने पर, तीनों समूहों को 3! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है और प्रत्येक समूह को आंतरिक रूप से भी व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः, तरीकों की अभीष्ट संख्या = 3! 4! 5! 6!

Q. 166283 6 व्यक्तियों में से चयन किए जाने वाले दो या दो से अधिक व्यक्तियों से बनने वाली समितियों की संख्या क्या होगी?

A. 64

B. 57

C. 36

D. 12

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166284 गेंदों के युग्म ब

एक बैग में n सफ़ेद और n लाल गेंद हैं<div class=

A.
B.
C.
D.

Right Answer is: D

SOLUTION

गेंदों का पहला युग्म ⁿC₁ ×ⁿC₁ = n² तरीकों से निकाला जा सकता है| गेंदों का दूसरा युग्म ^{n –} ¹C₁ × ^{n –} ¹C₁ = (n – 1)² तरीकों से निकाला जा सकता है| बैग खाली करने के तरीकों की संख्या = 14400 (दिया गया है) (n²) (n – 1)²(n – 2)²...(1)² = 14400 (n !)² = 14400 n! = 120 n! = 54321 n! = 5! n = 5

Q. 166285 MATHEMATICS शब्द के चार अक्षरों को इस प्रकार से व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि दो अक्षर भिन्न-भिन्न हों और दो अक्षर समान हों:

1680

756

D. 18

Right Answer is: B

SOLUTION

MATHEMATICS शब्द में समान अक्षरों के तीन जोड़े हैं: MM, AA, TT
एक जोड़े का चयन ³C₁ तरीकों से किया जा सकता है।
अब, दो भिन्न-भिन्न अक्षरों का चयन ⁷C₂ तरीकों से किया जा सकता है।
ये चारों अक्षर 4! / 2! = 12 तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं। अतः, अक्षरों की अभीष्ट संख्या = ³C₁⁷C₂12 = 756

Q. 166286

100

Right Answer is: D

SOLUTION

Description: Description: Description: /stryde/uploadfiles/Image/2010/03/11/20100311813277001268296259image004.gif

Q. 166287 यदि ⁿP_r = 720 और ⁿC_r = 120, तो r ज्ञात कीजिए।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166288 भिन्न-भिन्न रंगों के 5 झंडों में से एक समय पर 3 झंडों का प्रयोग करते हुए कितने विभिन्न संकेत (signals) बनाए जा सकते हैं?

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

संकेतों की अभीष्ट संख्या :
Description: /stryde/uploadfiles/Image/2007/08/17/20070817020385001187352311170201.gif

Q. 166289 अंक 2, 3, 4, 5 और 6 से कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि (i) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो? (ii) अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो?

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

(i) अंकों की कुल संख्या = 5

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2013/07/10/20070710382505001184042159image004.gif कुल 3-अंकीय संख्याएँ, जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति हो = 5 5 5 = 125

(ii) कुल 3-अंकीय संख्याएँ, जब अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो,
Description: /stryde/uploadfiles/Image/2013/07/10/20070710382505001184042159170201.gif

Q. 166290 सिद्ध कीजिए कि के लिए r का कोई पूर्णांक मान (integral value) नहीं है।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166291 दो देशों के 7 प्रतिनिधियों के बीच एक गोलमेज सम्मेलन का आयोजन होना है। प्रतिनिधियों के बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि 2 विशेष प्रतिनिधियों को कभी भी एक साथ नहीं बैठना है।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

चूँकि n विभिन्न वस्तुओं के वृत्ताकार क्रमचयों (circular permutations) की संख्या

= (n-1)!

अतः गोल मेज पर 7 प्रतिनिधियों के बैठने के तरीकों की संख्या

= (7 – 1)!

= 6!

=6×5×4×3×2×1

=720

यदि 2 विशेष प्रतिनिधि एक साथ बैठना पसंद करते हैं, तो बैठने के विन्यासों (arrangements) की संख्या

= (6-1)! × 2!

= 5! × 2

= 5×4×3×2×1×2

= 240

प्रतिनिधियों के बैठने के तरीकों की संख्या, यदि 2 विशेष प्रतिनिधियों को कभी भी एक साथ नहीं बैठना है

=720 – 240

=480

Q. 166292 कॉमनवेल्थ खेलों में, फुटबॉल की एक प्रतियोगिता के लिए 153 मैच खेले गए। प्रत्येक दोनों टीमों ने एक-दूसरे के साथ एक मैच खेला। कॉमनवेल्थ खेलों में, फुटबॉल प्रतियोगिता में भाग लेने वाली टीमों की संख्या ज्ञात कीजिए।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166293 n का मान ज्ञात कीजिए, यदि (i)²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 12 : 1 (ii) ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11:1

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2011/05/07/2011050768762800130476447322063.jpg

Q. 166294 यदि Description: /stryde/uploadfiles/Image/2013/07/10/20070709300139001183984862170201.gif

, तो m का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान (least positive integral value) ज्ञात कीजिए।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166295

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Description: /stryde/uploadfiles/Image/2013/07/10/20070709675635001183984128170202.gif

Q. 166296 सम्मिश्र संख्या Description: /stryde/uploadfiles/Image/2013/07/10/20070709645437001183984748170201.gif

को ध्रुवीय रूप (Polar Form) में रूपांतरित कीजिए।

A.
B.
C.
D.

Right Answer is:

SOLUTION

Q. 166297

Right Answer is: B

SOLUTION

Q. 166298 रैखिक असमिका 2 - x > 10 का तात्पर्य है कि:

A. x – 2 > 10

B. x – 2 <– 10

C. x = – 8

D. x = 10

Right Answer is: B

SOLUTION

जब किसी असमिका के दोनों पक्षों में किसी ऋणात्मक संख्या (negative number) से गुणा या भाग किया जाता है, तो असमिका का चिह्न बदल जाता है।
अतः, 2 – x > 10 के दोनों पक्षों में -1 द्वारा गुणा करने पर, हम x – 2 < – 10 प्राप्त करते हैं।

Q. 166299 सुनिश्चित असमिका (strict inequality) का एक उदाहरण है:

Right Answer is: A

SOLUTION

< या > चिह्न वाली असमिका सुनिश्चित असमिका कहलाती है।

Q. 166300

A. 2 ≤ x < 11

B. 2 < x < 11

C. 3 ≤ x < 11

D. 3 < x < 11

Right Answer is: C

SOLUTION

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