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माना कि POA = 60°, OP = p, OA =  a, OB =  b.

Δ OPA में, p/a = cos 60° = 1/2
 ⇒             a = 2p

Δ OPB में, p/b = cos 30° = √3/2 ⇒b = 2p/ √3

Δ AOB का क्षेत्रफल = (1/2)ab
                            = (1/2) x 2p x (2p/ √3)
                            = (2/√3)p²

इस प्रकार,      

             (2/ √3)p² = 54√3

                       p² = 81

                        p = 9

   x cos θ + y sin  θ = p का प्रयोग करने पर, हम पाते हैं:
 x cos 60° + y sin 60° = 9

              x + √3 y -18 = 0

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फॉन्ट में टंकिट टेक्स्ट को ष्क्रुतिदेव.०१०ष् नामक टेक्स्ट बॉक्स में टाईप या पेस्ट करें तथा इसे यूनिकोड में रूपांतरित करने के लिए अधोमुख तीर वाले बटन \text{PQ}\text{=}\frac{\text{x+y}\text{-5}}{\sqrt{\text{1+1 फॉन्ट}}}\text{=}\frac{\text{x+y-5}}{\sqrt{\text{2}}} फॉन्ट में टंकिट टेक्स्ट को ष्यूनिकोडष् नामक टेक्स्ट \Rightarrow PR=3x-2y7

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क्योंकि परवलय (parabola) y-अक्ष के परितः (about) सममित (symmetric) है और इसका शीर्ष (vertex) मूल बिंदु (origin) पर है, समीकरण x² = 4ay या x² = – 4ay के रूप का है, जहाँ चिह्न इस बात पर निर्भर होता है कि परवलय ऊपर या नीचे की ओर खुलता है। किन्तु, परवलय (-3, -5) से होकर जाता है, जो तीसरे चतुर्थांश (quadrant) में स्थित है। अतः, इसे नीचे की ओर खुलना चाहिए। इस प्रकार, समीकरण x² = –4ay के रूप का है। क्योंकि परवलय (-3, -5) से होकर जाता है, अतः                  (-3)² = –4a(-5) अर्थात्,                a = 9/20 अतः, परवलय का अभीष्ट समीकरण है:             x² = –4(9/20)y अर्थात्,  20x² = –36y

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यहाँ, y² + 29 = 4x + 10y
या, y² – 10y + 25 = 4x – 4
या, (y – 5)² = 4(x – 1)
यह Y² = 4aX के रूप में है, जहाँ X = (x – 1), Y = (y – 5) और 4a = 4 ⇒ a = 1
नाभि (focus) के लिए, X = a और Y = 0, अर्थात् (x – 1) = 1 और (y – 5) = 0,
या, x = 2 और y = 5
अतः, नाभि (focus) के निर्देशांक (2, 5) हैं।

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माना कि परवलय (parabola) पर कोई बिंदु P(x, y) है, तो परवलय की परिभाषा द्वारा:  (x, y) और (2, 0) के बीच की दूरी (x, y) से नियता (directrix) x+2= 0 की लंबवत दूरी (perpendicular distance) के बराबर है। अतः,
(x-2)² + y² = (x+2)² ⇒ y²= 8x

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दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (y - 1)² = शीर्ष इस प्रकार है: x-1/2=0 और y-1=0 अतः, शीर्ष है: (1/2, 1)

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दिए गए समीकरण को निम्नानुसार लिखिए:
x² + 3x = - 4y + 2
⇒ x² + 3x + 9/4 = - 4y + 2 + 9/4
⇒ (x+3/2)² = - 4(y -17/16)
मूल बिंदु (origin) को A ( - 3/2, 17/16) की ओर स्थानांतरित करते हैं और x + (3/2) = X और y -17/6 = Y प्रतिस्थापित करते हैं।
अब समीकरण (i) बन जाता है: X² = -4Y
यह एक अधोमुखी परवलय (downward parabola) है, जिसका शीर्ष (0, 0) है अर्थात् X = 0 और Y = 0
अतः, x + (3/2) = 0 और y - (17/16) = 0
⇒ x = - 3/2, y = 17/16
अतः, शीर्ष है: ( - 3/2, 17/16)

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माना कि मूल बिंदु (origin) पर शीर्ष (vertex) और x-अक्ष के अनुदिश (along) अक्ष वाला एक परवलय (parabola) है: y² = 4ax
यह (–3, 7) से होकर जाता है, अतः
(7)² = 4a(- 3), अर्थात्, a = - 49/12
अतः, परवलय (parabola) का अभीष्ट समीकरण y² = 4(- 49/12)x
या 3y² = – 49x है।

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जब तल (plane) एक कोण α <β<90°बनाते हुए शंकु (cone) के नापे (nappe) (शीर्ष को छोड़कर) को काटता है, तो निर्मित परिच्छेद (section) एक दीर्घवृत्त (ellipse) होगा।


 

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जल्द से जल्द होमिनिड के जीवाश्म, जीनस की ऑस्ट्रेलोपिथेकस, के बारे में 56 लाख साल पहले वापस करने के लिए पूर्वी अफ्रीका और तारीख में पाया गया है। दूसरी ओर, अफ्रीका के बाहर पाया जीवाश्म सिर्फ 1.8 करोड़ साल पुराने हैं।

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कार्ल आर पॉपर के अनुसार इतिहास का कोई अर्थ नहीं है। उन्होंने ऐसा इसलिए ऐसा इसलिए कहा है क्योंकि उनके अनुसार इतिहास का कोई लक्ष्य नहीं है।

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मध्य युग में इस्लाम के आगमन के साथ अरबी और ईरानी इतिहास लेखन की प्रवृत्ति भी हमारे देश में प्रविष्ट हुई और कालांतर में वह भारतीय इतिहास लेखन का अंग बन गयी। 

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इतिहास का उच्चस्तरीय अध्ययन कर विद्यार्थी संग्रहालय, पुस्तकालय तथा अन्य संस्थानों के सचिव पद पर कार्यरत हो सकते हैं। इतिहास पत्रकारिता का आधार-स्तम्भ है।

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इतिहास में किसी देश, समाज तथा मानव से सम्बंधित सभी घटनाओं का उल्लेख होता है। इसलिए इतिहास को सामाजिक विज्ञानों का उद्गम स्थल कहना पूर्णतः सार्थक है।

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इतिहास शब्द की व्युत्पत्ति संस्कृत के तीन शब्दों इति + ह + आस से मिलकर हुई है। इति का अर्थ है जैसा हुआ वैसा ही, ह का अर्थ है सचमुच तथा आस का अर्थ है निरन्तर रहना या बोध होना।

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प्राचीन इतिहास को भारतीय परिपेक्ष्य में जानने के लिए साधनों को तीन प्रमुख भागों में विभक्त किया जाता है।

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आद्य ऐतिहासिक काल से हमें लिखित साक्ष्य मिलने प्रारंभ हो जाते हैं ।

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बोलचाल की भाषा के विकास को कला के साथ नजदीकी से जोड़कर देखा जाता है क्योंकि दोनों ही संचार के माध्यम हैं।

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नृवंशविज्ञान अध्ययन आमतौर पर समग्र अध्ययन होता है। इसमें  आजीविका, प्रौद्योगिकी, लिंग भूमिकाओं, प्रथाओं, राजनीतिक संस्थाओं और समकालीन जातीय समूहों के सामाजिक रीति-रिवाजों के विभिन्न रूपों एवं तरीकों का परीक्षण शामिल है।

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जब लोग फसलें उगाने लगे तो उन्हें एक ही स्थान पर तब तक रहना पड़ता था जब तक कि उनकी उगाई हुई फसल पक न जाए। इसलिए एक स्थान पर बसकर रहना आम बात हो गई और इसके फलस्वरूप, लोग अपने रहने के लिए अधिक स्थायी घर बनाने लगे।

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प्रागैतिहासिक काल का कोई लिखित साक्ष्य नहीं प्राप्त होता है। आद्य इतिहास का साक्ष्य लिपि के रूप में मिलता है, लेकिन इस लिपि को पढ़ा न जा सकने के कारण किसी ठोस निष्कर्ष की प्राप्ति नहीं हो पाई है।  इसलिए लिखित इतिहास की नज़र में इन दोनों कालों में ज्यादा भेद नहीं है क्योंकि इन दोनों कालों का अध्ययन हमें अप्रत्यक्ष स्रोतों से करना पड़ता है।

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इतिहास शब्द की व्युत्पत्ति संस्कृत के तीन शब्दों इति + ह + आस से मिलकर हुई है। 'इति' का अर्थ है जैसा हुआ वैसा ही, 'ह' का अर्थ है सचमुच तथा 'आस' का अर्थ है निरन्तर रहना या बोध होना।

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गैरोंसकी के अनुसार, इतिहास मानव समाज के उस बिंदु के प्रारम्भ काल का अभिलेख है, जब से लिखित अभिलेख प्राप्त होता है। इतिहास मानवीय सभ्यता का अभिलेख है। 

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इतिहास शब्द अंग्रेजी शब्द हिस्ट्री का हिंदी रूपांतर है। हिस्ट्री शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग यूनानी इतिहासकार हेरोडोटस ने अपनी पुस्तक हिस्टोरिका में किया था। इसीलिए अधिकांश विद्वान् हेरोडोटस को इतिहास का जनक मानते हैं।

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इतिहास विश्व के वर्तमान स्वरुप की पृष्ठभूमि का ज्ञान प्रदान करता है। यह मानव की क्रियाओं तथा उपलब्धियों का कोष है।  इतिहास हमें मानवीय समाज का ज्ञान भी प्रदान करता है। समाज के स्वरुप, क्रमिक विकास, मानव स्वाभाव तथा मानव प्रगति का विवेचन इतिहास में ही मिलता है।

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हड्ज़ा केंद्रीय तंजानिया में शिकारी और संग्रहकर्ताओं का एक छोटा जातीय समूह है। यह चारों ओर ईयासी झील से घिरा है। ये अफ्रीका के आखरी शिकारी हैं। ये नियम-रहित जीवन जीते हैं ।  पूर्वी हड्ज़ा भूमि और उसके संसाधनों पर किसी अधिकार का दावा नहीं करता है। । हड्ज़ा लोग अत्यधिक कुशल, चयनात्मक और अवसरवादी ख़ानाबदोश हैं और ये लोग मौसम और परिस्थिति के अनुसार अपने आहार को समायोजित कर लेते हैं ।

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नृवंशविज्ञान एक गुणात्मक अनुसंधान विधि है । यह विधि समकालीन जातीय समूहों का अध्ययन करने हेतु प्रायः सामाजिक विज्ञान विशेष रूप से नृविज्ञान और समाजशास्त्र में इस्तेमाल की जाती है । नृवंशविज्ञान अध्ययन आमतौर पर समग्र अध्ययन होता है। इसमें  आजीविका, प्रौद्योगिकी, लिंग भूमिकाओं, प्रथाओं, राजनीतिक संस्थाओं और समकालीन जातीय समूहों के सामाजिक रीति-रिवाजों के विभिन्न रूपों एवं तरीकों का परीक्षण शामिल है।

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पत्थर के औजार बनाने के तरीकों में बदलाव आया। हालाँकि औजार बनाने के  पहले वाले तरीके भी चालू रहे पर कुछ औजारों तथा उपकरणों को, घिसाई की विशद प्रक्रिया के जरिये, चिकना और पॉलिशदार बनाया जाने लगा। अनेक नए उपकरण बनाए गए जैसे -अनाज साफ करने के लिए ओखली व मूसल और पत्थर की कुल्हाड़ी, कसिया और फावड़ा जिनसे जुताई के लिए भूमि साफ की जाती थी और बीज बोने के लिए खुदाई की जाती थी।कुछ इलाकों में, लोग ताँबा और टिन (राँगा) जैसी धातुओं के खनिजों का उपयोग करना सीख गए। कभी-कभी, ताँबे के खनिजों को इकठ्ठा करके उनके खास नीले, हरे रंग की वजह से उनका इस्तेमाल किया जाता था। इससे आगे चलकर धातुओं से गहने और औजार बनाने का रास्ता खुल गया।

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इतिहास शब्द अंग्रेजी शब्द हिस्ट्री का हिंदी रूपांतर है। हिस्ट्री शब्द का सर्वप्रथम प्रयोग यूनानी इतिहासकार हेरोडोटस ने अपनी पुस्तक हिस्टोरिका में किया था। हेरोडोटस के अनुसार इतिहास का अर्थ अतीत का गवेषण एवं अनुसन्धान करना है। रेनियर ने इतिहास को एक कहानी बताया है। हेनरी पेरिनी ने इतिहास को मानव के कार्यों और उपलब्धियों की कहानी कहा है। जी एम ट्रेवेलियन इतिहास को एक अपरिवर्तनीय कथा माना है। कार्ल आर पॉपर के अनुसार इतिहास का कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि इतिहास का कोई लक्ष्य नहीं है। लेकिन गार्डनर कहते हैं कि इतिहासकार इतिहास को अर्थ प्रदान करता है। ओकशाट का मत है कि इतिहासकार का अनुभव ही इतिहास है अर्थात अपने साक्ष्यपरक अनुभवों के साथ इतिहासकार इतिहास लेखन कर उसे अर्थ प्रदान करता है। चार्ल्स फर्थ के अनुसार, इतिहास मानव समाज के जीवन का संकलन है। कोलिंगवूड  के अनुसार, इतिहास एक अदितीय प्रकार का ज्ञान है और यह मनुष्य के सम्पूर्ण ज्ञान का स्रोत है।  ई एच कार के अनुसार, वस्तुतः इतिहास, इतिहासकार तथा तथ्यों के बीच अन्तः क्रिया की अविच्छिन्न प्रक्रिया तथा वर्तमान और अतीत के बीच अनवरत परिसंवाद है।
निष्कर्षतः यह कहा जा सकता है कि इतिहास में किसी देश, समाज तथा मानव से सम्बंधित सभी घटनाओं का उल्लेख होता है।

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क्योंकि नाभियाँ (foci) x-अक्ष पर स्थित हैं और उनका मध्य बिंदु (0, 0) है, अतः दीर्घवृत्त (ellipse) का अक्ष, x-अक्ष के अनुदिश (along) है और इसका केंद्र मूल बिंदु (origin) पर है। माना कि इसका समीकरण है:
नाभियों (foci) के बीच दूरी, SS' = 2ae = 4, अर्थात्, ae = 2 ⇒ a= 4 ( e =1/2) ⇒ b²= a²(1-e²) ⇒ b²=16(1-1/4) =12 अतः, दीर्घवृत्त का समीकरण है: x²/16 + y²/12 = 1

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क्योंकि नाभि (focus) (4, 0) है, अतः ae = 4 और e = 4/5 इसलिए, a = 5 अब, b² = a² (1 – e²) ⇒ b² = 25{1- (16/25)} = 9 इस प्रकार, दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण है:

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माना कि वृत्त के व्यास AB और CD हैं, जिनके समीकरण क्रमशः हैं:
x – y = 6 ...(i) और 2x + y = 6 ...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: x = 4 और y = -2
क्योंकि एक वृत्त के किन्हीं दो व्यासों का प्रतिच्छेद बिंदु (point of intersection) इसका केंद्र होता है,
अतः अभीष्ट वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (4, -2) और इसकी त्रिज्या 6 दी हुई है।
अतः, इसका समीकरण है:
(x – 4)² + (y + 2)² = 6²
या
x² + 16 – 8x + y² + 4 + 4y = 36
x² + y² – 8x + 4y = 16

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माना कि वृत्त का समीकरण है: (x – h)² + (y – k)² = r² क्योंकि वृत्त (0, 0) और (4, 3) से होकर जाता है, अतः
(0 – h)² + (0 – k)² = r² या h² + k² = r² ...(1) और (4 – h)² + (3 – k)² = r² ...(2) साथ ही, यह दिया गया है कि वृत्त का केंद्र रेखा x + 2y = 6 पर स्थित है, अतः
h + 2k = 6 ...(3) समीकरण (1), (2) और (3) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं: h = 1.4, k = 2.3 और r² = 7.25. अतः, अभीष्ट वृत्त का समीकरण है: (x – 1.4)² + (y – 2.3)² = 7.25

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वृत्त की त्रिज्या 2 cm है और यह दोनों अक्षों को स्पर्श करता है, अतः इसका केंद्र (2, 2) होगा। वृत्त का समीकरण है:
(x-2)²+(y-2)²= 2²
x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0

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वृत्त का केंद्र, (2,0) और (0, 4) का मध्य बिंदु (mid-point) अर्थात् (1, 2) होगा। अब, त्रिज्या (0, 0) और (1, 2) के बीच की दूरी है, जो इस प्रकार है: वृत्त (circle) C(1,2) का समीकरण है: (x –1)² + (y – 2)² = 5 x² + y² – 2x – 4y = 0