हमारे पास,
sinxcos2x-sinx=sinx(cos2x-1)
=-sinx(1-cos2x)
=-sinx.sin2x
=-sin3x
चूंकि
इसलिए
हमारे पास, sinA=cosB
sinA=sin(90°-B)
इसलिए, A=90°-B
A+B=90°
माना मीनार की ऊँचाई 'h' मीटर है।
अतः, मीनार
की
ऊँचाई
मीटर
है। 
ABC=90° तो BC
का मान ज्ञात
कीजिए
ABC=90°
तो BC का मान
ज्ञात कीजिए
माना AB, 31 मी ऊँची एक मीनार है और बिंदु C से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 45° है|
तब, त्रिभुज ABC में,
tan C = AB/BC
tan45° = 31/BC
1 = 31/BC
BC = 31 मी
अत:, मीनार की छाया की लंबाई 31 मी है|
माना AB एक सीढ़ी है और यह भवन को बिंदु A पर छूती है।
माना सीढ़ी का निचला सिरा भवन से x मीटर की दूरी पर स्थित है।
माना
AB एक सीढ़ी है
और यह भवन को
बिंदु B पर
छूती है।
माना सीढ़ी
का ऊपरी सिरा
भवन को h मीटर
की ऊँचाई पर
छूता है।
माना
पतंग की डोर
की लम्बाई = AB = 90
मीटर
ABC =
60°
माना पतंग की
ऊँचाई AC = h मीटर
माना
PQ खम्भा और PR
तार है। माना PR =
x मीटर और 
PRQ
= 60°
माना
BC प्रकाश
स्तम्भ है और
जहाज A स्थान
पर है।
माना AB = x मीटर ,
तो 
DCA =
CAB
चूँकि 
DCA = 45° = 
CAB
माना
P मीनार की
चोटी है, और M
मीनार का आधार
बिंदु है।
माना O भूमि
पर वह बिंदु
है, जहाँ P का
उन्नयन कोण
30°है, तो
OM = 18 मीटर 
MOP =
30°
मीनार की ऊँचाई, स्पष्ट ही PM की लम्बाई है।
इस प्रकार, टावर कर उन्नयन कोण 30oहै।
माना TM एक प्रकाश स्तम्भ है।
A तथा B दो जहाज हैं और TN क्षैतिज रेखा है, T से A और B के अवनमन कोण क्रमशः 
NTA और 
NTB हैं। अतः ये कोण क्रमशः 45° और 30° है।
मान लेते है कि AB एक पहाड़ है जिसकी ऊँचाई h किमी है और पहाड़ के आधार से 10 किमी और (x+10) किमी दूर स्थति बिन्दुओं से पहाड़ के शीर्ष का उन्नयन कोण क्रमश: 30° और 15° है|
त्रिभुज AOQ में,
tan30° = h/x
(1/
3) = h/x
x = 3h … (1)
त्रिभुज AOP में,
tan15° = h/(x+10)
0.27 = h/(x+10)
h = 0.27(x+10)
h = 0.27(3h+10)
= 0.273h+2.7
h - 0.273h = 2.7
h(1-0.27
1.732) = 2.7
h(0.54) = 2.7
h = 2.7/0.54
h = 270/54
= 5 किमी
अत:, पहाड़ की ऊँचाई 5 किमी है|
बिंदु P के निर्देशांक होंगे
.
दिया है, x1 = -5, y1 = -1, x2 = 3, y2 = -5, x3 = 5 और y3 = 2
ABC का क्षेत्रफल = (1/2)[x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]
= 32 वर्ग इकाई
हम जानते हैं कि दो बिन्दुओं के बीच की दूरी = 
[ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]
इसप्रकार, बिन्दुओं P(-1, 2) और Q(-4, -1) के बीच की दूरी = 32
A. (5/7)
B. (1/3)
C. (2/3)
D. (3/1)
6m – 2n = 4m + 4n 2m = 6n (m/n) = 3 : 1 = (3/1)चूँकि बिंदु P, y-अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका भुज 0 होगा|
माना, दिए गए बिंदु की कोटि y है. इसलिए, बिंदु P के निर्देशांक (0, y) हैं|
दिया है, बिंदु P, y-अक्ष पर बिन्दुओं A(-5, -2) और B(3, 2) से समान दूरी पर स्थित है|
इसप्रकार, AP = BP या AP2 = BP2
या (0 + 5)2 + (y + 2)2 = (0 – 3)2 + (y – 2)2
या y = -2
इसप्रकार, बिंदु P के निर्देशांक (0, -2) हैं|
हम जानते हैं, दो बिन्दुओं के बीच की दूरी = [ (x2 - x1)2 + (x2 - y1)2]
इसप्रकार, 5 = [ (3 - x)2 + (2 + 1)2 ]
25 = 9 +x2 – 6x = 9
x2 – 6x – 7 = 0
x = 7, -1
चूँकि दिए गए बिंदु संरेखीय हैं, इसप्रकार ∆ABC का क्षेत्रफल = 0
दिया है, x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, y2 = n, x3 = 6 और y3 = -3
हम जानते हैं कि
y-अक्ष से एक बिंदु की दूरी उसका x-निर्देशांक या भुज कहलाती है|
x-अक्ष से एक बिंदु की दूरी उस बिंदु का y-निर्देशांक या कोटि कहलाती है|
x-अक्ष पर एक बिंदु के निर्देशांक (x, 0) के रूप में और y-अक्ष पर एक बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं|
हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) and (x3, y3) दिए गए हैं
= [{(x1 + x2 + x3)/3} , {(y1 + y2 + y3)/3}]
और यहाँ केन्द्रक के निर्देशांक = (0, 0)
माना, तीसरे शीर्ष के निर्देशांक (x, y) हैं, तो
0 = [(- 3 + 0 + x)/3] and 0 = [ {1 + ( - 2) + y}/3]
x = 3 और y = 1
AB2 = (12)2
(7 – a)2 + (-5 + 5)2 = 144
7 – a = 
12
a = -5 या 19
चूँकि दिए गए बिंदु संरेखीय हैं|
इस प्रकार इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
ABC का क्षेत्रफल = (1/2)[7(1 - k) + 5(k + 2) + 3(-2 - 1)] = 0
k = 4
माना, दिया गया बिंदु P(6, -6) और मूल बिंदु O(0,0) हैं|
d = 
[(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2]
= [(6 - 0)2 + (-6 - 0)2] = [(6)2 + (-6)2]
= [36 + 36] = 62 इकाई
चूँकि, दिए गए बिंदु संरेखीय हैं,
इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
दिया है, x1 = 2, y1 = 1, x2 = p, y2 = -1, x3 = -1 और y3 = 3
हम जानते हैं कि,
दूरी सूत्र का प्रयोग करके,
बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु से दूरी =√(x–0)2 + (y–0)2
=
(x2+y2)
मध्य बिन्दु के निर्देशांक 
अभीष्ट बिंदु के निर्देशांक
हम जानते हैं, त्रिभुज के शीर्ष (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) हैं, तो त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक =
.
इसप्रकार,त्रिभुज ABC के शीर्ष A(0, 6), B(8, 12) और C(8, 0) हैं, तो मध्य बिंदु के निर्देशांक
= {(0+8+8)/3 , (6+12+0)/3}
= (16/3, 6)
है। यदि a = 18 मीटर और b = 32 मीटर है तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A.
B.
C.
D.
हमें ज्ञात है, AC = 3 सेमी त्रिभुज ACO में , हमें ज्ञात है (AO)2 = (OC)2 + (AC)2 या, (5)2 = (OC)2 + (3)2 या, OC = 4 सेमी
A.
1 सेमी
B.
2 सेमी
C.
3 सेमी
D.
4 सेमी
हम जानते है कि यदि एक वृत्त चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है, तब AB + CD = AD + BC या 6 + 4 = AD + 7 अर्थात, AD = 3 सेमी
A.
1 सेमी
B.
2 सेमी
C.
3 सेमी
D.
4 सेमी
दी
गई
आकृति
से, हमें
ज्ञात
है
AR = AP = AB – BP
= (8 – r) सेमी
CR = CQ = CB – BQ
= (6 – r) सेमी
इसलिए
AC = AR + CR
= (8 – r + 6 – r) सेमी
= (14 – 2r) सेमी
अब,
AC2 = AB2 + BC2
या
(14 – 2r)2 = 82+ 62
(14 – 2r)2 = 102
14 – 2r = 10
या
r = 2 सेमी
A.
B.
C.
D.
पाइथागोरस प्रमेंय के उपयोग से, हमें ज्ञात है
OP2 = OT2 + PT2
या 52 = OT2 + 42
या OT2 = 9.
या OT =3 सेमी
A.
B.
C.
D.
पाइथागोरस प्रमेंय के उपयोग से, हमें ज्ञात है
OP2 = OT2 + PT2
या 152 = OT2 + 122
OT2 = 81.
या , OT = 9 सेमी
A.
B.
C.
D.
आकृति से, हमें ज्ञात है OQ2 = OP2 + PQ2 = 72 + 242 = 625 या, OQ = 25 सेमी
A.
B.
C.
D.
दिया गया है कि
AB = 2 AM.
= 2 √(OA2 – OM2)
= 2 √(132 – 52)
= 2 √144
= 24 सेमी
A.
B.
C.
D.
इकाई वृत्त की त्रिज्या = 2 सेमी
AB=2 × AP
AB = 2 × OA × cos30°
= 2 × 2 × √3/2
= 2√3 सेमी
A.
B.
C.
D.
OC = OA = (1/2)AB
AC2 = OA2 + OC2 = 2OA2
= 2 × (AB/2)2 = (1/2)AB2
AC = (1/2)AB
A.
B.
C.
D.
DA = DC और DB = DC
AB = AD + DB = 2DC = 2 x 4 = 8 सेमी
A.
6 सेमी
B.
8 सेमी
C.
10 सेमी
D.
12 सेमी
AOP में
चूंकि
AB
एक
स्पर्श
रेखा
है
इसलिए
OP 
AB.
OP = 4 सेमी,
AO = 5 सेमी
AP2 = AO2 – OP2 = 52 – 42
= 32
AP = 3 सेमी
AB = 2AP
= 2 × 3 = 6 सेमी
A.
6 सेमी
B.
12 सेमी
C.
14 सेमी
D.
16 सेमी
माना
कि
AP
स्पर्श
रेखा
है।
तब,
AP = 8 सेमी
AO = 10 सेमी
OP2 = AO2 – AP2
= 102 – 82 = 36
OP = 6 सेमी
व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 × 6 = 12 सेमी
A.
3 सेमी
B. 4 सेमी
C. 5 सेमी
D. 6 सेमी
A.
30o
B. 40o
C. 50o
D. 60o
वृत्त खण्ड की जीवा द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोंण, वृत्त खण्ड की परिधि पर बने कोंण का दोगुना होता है।
POQ = 120°, तब
PAQ के बराबर है
A.
B.
C.
D.
आकृति से POQ = 120° OPA = 90° ( 
OP, AP के लम्बवत है।)
OQA = 90° (OQ, AQ के लम्बवत है।) )
PAQ = 360° – (120° + 90° + 90°) = 60°
A.
B.
C.
D.
नीचे दिये गये चित्र में यह दिया गया है कि
OA = 25 सेमी
OP = 24 सेमी
और AB एक जीवा है
OAP में,
OA2 = OP2 + AP2
AP2 = OA2 – OP2
= 252 – 242 = 625 – 576
AP2 = 49
AP = 7 सेमी
AB = 2AP = 2 × 7 = 14 सेमी
A.
7
सेमी 2
B.
14 सेमी 2
C.
49 सेमी 2
D.
51
सेमी 2
दी
गई
आकृति
के
अनुसार,
OAQ में
OA2 = OQ2 – AQ2
OA2 = 252 – 242 = 49
OA = 7 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल = r2
= × 49 =
49 सेमी 2
QOR के बराबर है (जहाँ O वृत्त का केन्द्र है)
A.
B.
C.
D.
QOR = 360° – [100° + 90° + 90°]
= 360° – 280°
QOR = 80°
मान लेते है कि AC = x मी टावर को निरूपित करती है और AB टावर की छाया है|
प्रश्नानुसार,
अब, मान लेते है कि सूर्य का उन्नयन कोण θ हैं|
त्रिभुज ABC में,
माना AC और BD दो पेड़ अहिं जिनकी ऊँचाई क्रमश: 20 मी और 28 मी है और AB उनके शीर्षो के बीच की दूरी है जो कि 17 मी है | हमें दोनों पेड़ो के बीच की क्षैतिज दूरी अर्थात् AE की लंबाई ज्ञात करनी है|
आकृति से, हमें ज्ञात है
AE2 = AB2 – BE2 (पाइथागोरस प्रमेय से)
= (17)2 – (8)2 (BE = BD – ED = (28 – 20)m = 8 m)
= 289 – 64
= 225
या AE = 15 m
A. 
B. 
C. 
D. 
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
माना कि सूर्य का उन्नयन कोण θ है और BC = h इकाई, AB = x इकाई क्रमश: छड़ी और उसकी छाया को निरूपित करते हैं|
माना भूमि पर स्थित बिंदु A है, BC पेड़ को निरूपित करता है और AB = x पेड़ के पद बिंदु से भूमि पर स्थित बिंदु के बीच की दूरी है|
A. 20 मीटर
B. 30 मीटर
C. 
D. 
A. 
B. 
C. 15 मीटर
D. 10 मीटर
मान लेते है कि AC सीढ़ी को निरूपित करती हैं और इसकी लंबाई h मी है और AB मीनार को निरूपित करती हैं|
तब, Δ ABC से हमें ज्ञात है
h/20 = sin 30°
h = 20 sin 30° = 20 (1/2)
h = 10 मीटर
A. 40°
B. 50°
C. 10°
D. 90°
A. 30 मी
B. 60 मी
C. 90 मी
D. 120 मी
माना AB बराबर 60 मी भूमि से पतंग की ऊँचाई को निरूपित करती हैं और AC बराबर x मी डोरी की लंबाई को निरूपित करती हैं|
Δ ABC से, हमें ज्ञात हैं
60/x = sin 30°
60/x = 1/2
x = 120 मी
A. 55°
B. 35°
C. 20°
D. 90°
जब कोई वस्तु हमारे नेत्र के क्षैतिज तल से नीचे स्थित हो, तो हमारी दृष्टि रेखा और क्षैतिज तल रेखा के बीच बना कोण अवनमन कोण कहलाता है।
55° + x = 90°
x = 35°
A. 65°
B. 25°
C. 40°
D. 90°
बिंदु C से बिंदु A का उन्नयन कोण ∠ACB है|
यह दिया गया है कि ∠BCD समकोण है, इसलिए
∠ACB + 65° = 90°
⇒ ∠ACB = 25°
A. 65°
B. 25°
C. 40°
D. 90°
जब कोई वस्तु हमारे नेत्र के क्षैतिज तल से नीचे स्थित हो, तो हमारी दृष्टि रेखा और क्षैतिज तल रेखा के बीच बना कोण अवनमन कोण कहलाता है।
बिंदु C से बिंदु A का उन्नयन कोण ∠ACB है|
यह दिया गया है कि ∠BCD समकोण है, इसलिए
∠ACB + 65° = 90°
⇒ ∠ACB = 25°
अब, बिंदु A से बिंदु C का अवनमन कोण ∠DAC है|
∠DAC = ∠ACB = 25° (एकांतर कोण)
माना मीनार (AC) = h तथा उन्नयन कोण 
ABC = 30° है। अतः
माना
मीनार (AC) = h तथा
उन्नयन कोण 
ABC = 60° है।
अतः
मीटर की दूरी पर वृक्ष के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। वृक्ष की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
माना वृक्ष की ऊँचाई AC = h मीटर है।
PAB
= 60° है, तो झण्डे
की ऊँचाई
ज्ञात
कीजिए।
माना झण्डे की ऊँचाई PB = h मीटर है।
माना
मीनार (AC) = h तथा
उन्नयन कोण 
CAB = 45° है।
अतः
माना वृक्ष की ऊँचाई AC = h मीटर है।
माना खम्बा (AC) = 10 मी और उन्नयन कोण = ∠ACB = x
जब वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती है, तब उनके बीच की दूरी अधिकतम होती है और यह दूरी वृत्त के वृत्त के व्यास के बराबर होती है |
स्पर्श रेखाओ के बीच की अधिकतम दूरी = वृत्त का व्यास
= 2 × 12 सेमी
= 24 सेमी
