SOLUTION

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB x BD = 5 x 7 = 35 सेमी ²
त्रिभुज BDC का क्षेत्रफल = ½ x समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ½ x 35 = 17.5 सेमी ²

SOLUTION

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB x BD = 5 x 7 = 35 सेमी²

SOLUTION

हम जानते है कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार x संगत ऊँचाईया
y² = (y – 3)(y + 4)
y² = y² + 4y – 3y – 12
या y = 12
अतः समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = (12 – 3) (12 + 4)
   = 9 x 16
  = 144 वर्ग इकाई

SOLUTION

AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
हम जानते है कि माध्यिका एक त्रिभुज को दो बराबर भागो में विभाजित करती है। क्षेत्रफल ( ΔABD) = क्षेत्रफल ( ΔADC) [Δक्षेत्रफल ( ΔABD = 156 सेमी ²)] क्षेत्रफल ( Δ ADC) = 156 सेमी ²  

SOLUTION

AD, त्रिभुज ABC की माध्यिका है।
हम जानते है कि माध्यिका एक त्रिभुज को दो बराबर भागो में विभाजित करती है।
क्षेत्रफल (  ΔABC) = 2क्षेत्रफल ( ΔABD)     

SOLUTION

त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल =

SOLUTION

Δ PES , E पर एक समकोण त्रिभुज है। माना कि SE = FR = a इस प्रकार, a² = 14² - 13² = 27 तब, a = 5.2 y = SE + EF + FR = 5.2 + 18 + 5.2 = 28.4 मी

SOLUTION

माना कि समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई = xसेमी तब, आधार = 5x सेमी समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = 5x × x = 5x² सेमी ² लेकिन, क्षेत्रफल = 125 सेमी ² 125 = 5x² x² = 125/5 = 25 x = 5 सेमी आधार = 5x = 5 × 5 = 25 सेमी

SOLUTION

हम जानते हैं कि 
             ऊँचाई = समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल/आधार
                = 32 सेमी²/8 सेमी
                = 4 सेमी
अतः समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई अर्थात समांतर भुजाओं के बीच की दूरी = 4 सेमी

SOLUTION

SOLUTION

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई
=(1/2)) × 24
=12 सेमी ²

SOLUTION

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल  = 26 सेमी ²
(1/2)(a+b)h = 26सेमी²
(1/2)(6.5)h = 26 सेमी²
h = (226)/6.5
= 8 सेमी
इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज की  ऊँचाई 8 सेमी है ।

SOLUTION

असत्य।
सभी सर्वागसम त्रिभुज क्षेत्रफल में समान होते हैं लेकिन यह आवश्यक नही हैं कि क्षेत्रफल में समान सभी त्रिभुज सर्वागसम हो।

SOLUTION

रेखाखंड BD की लम्बाई = AB + AC = 8.5 सेमी

SOLUTION

 तीन भुजाएँ दिये होने पर हम एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ।

SOLUTION

तीन कोण दिये होने पर हम अनन्त संख्या में त्रिभुजों की रचना कर सकते हैं ।

SOLUTION

 जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो तो हम एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ।

SOLUTION

SOLUTION

 जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो तो हम एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ।

SOLUTION

 जब दो कोणऔर उनकी संगत भुजा दी हो तो हम एक अद्वितीय त्रिभुज की रचना कर सकते हैं।

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

चरण 1 : एक रेखा PQ खींचिए।

चरण 2 : इस पर कोई बिन्दु D लीजिए।

चरण 3 : D से PQ पर लम्ब डालिए।

चरण 4 : किरण DE सेAD =4सेमी काटिए।

चरण 5 : A बिन्दु से 30⁰ का कोंण बनाइये जो PQ को B पर काटता है।PQ से DC इस प्रकार काटिए कि DC=BD

चरण 6 : A को C से मिलाइये।

ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

SOLUTION

SOLUTION

 रचना के चरण:

कोई उपयुक्त लम्बाई लेकर एक रेखाखंड AB खींचिए और इसके बाहर एक बिंदु P लीजिए।

·  P को केंद्र मानकर उपयुक्त त्रिज्या से एक चाप लगाइए जो रेखाखंड AB को C और D बिंदुओं पर काटता है।

· C और D को केंद्र मानकर, CD की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर समान त्रिज्या से दो चाप लगाइए जो एक दूसरे को E पर काटते हैं।

·  P और E को मिलाइए ।

   PE, AB पर लंबवत है और यह लम्ब अद्वितीय है।

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

रचना के चरण:

चरण 1: एक रेखा खण्ड AB= 8 सेमी का खींचिए।

चरण 2: A को केन्द्र लेकर और AB की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर AB के दोनों तरफ दो चाप लगाइये।

चरण 3: B को केन्द्र लेकर उसी त्रिज्या से पुनः दो चाप लगाइये जो पहले वाले चाप को C और D पर काटते हैं।

चरण 4: C को D से मिलाइये। रेखाखण्ड CD, AB को बिन्दु O पर काटता है। जहाँ O , AB का मध्य बिन्दु है।

प्रत्येक भाग की लम्बाई = 4 सेमी

SOLUTION

परिमाप = 17 + 14 + x   38 = 31 + x          x = 7 सेमी
क्षेत्रफल = s(s - a)(s - b)(s - c) = 19 x 2 x 5 x 12 = 2570
क्षेत्रफल = (1/2) x आधार x ऊँचाई
          = (1/2) x 17 x ऊँचाई          = 2570
ऊँचाई = (4570)/17

SOLUTION

भुजाओं का अनुपात= 3 : 4 : 5 माना त्रिभुज की भुजाएँ है; a = 3x, b = 4x और c = 5x परिमाप = 48 = 3x + 4x + 5x = 48 = 12x      x = 48/12 = 4 मी अतः, a = 3 4 = 12 मी, b = 4 4 = 16 मी, c = 5 4 = 20 मी चूंकि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, इसलिए इसका आधार और लम्ब 12 मी और 16 मी है। इसलिए, क्षेत्रफल = आधार ऊँचाई क्षेत्रफल = 16 12 = 96 मी ²

SOLUTION

यहाँ a = 16 सेमी, b = 22 सेमी, माना c = x सेमी
अब परिमाप = a + b + c
64 = 16 + 22 + x
x = 64 – 38
x = 26 सेमी
S = (a + b + c)/2
   =64/2   = 32 सेमी
क्षेत्रफल = s(s - a)(s - b)(s - c)
= 32(32 - 16)(32 - 22)(32 - 26)
= (32 x 16 x 10 x 6)
= 3230 सेमी ²

SOLUTION

SOLUTION

त्रिभुज की भुजाएँ अनुपात  25:17:12 में है, अर्थात
माना लीजिये a:b:c = 25:17:12
⇒ a = 25x, b = 17x और c = 12x
परिमाप 540 = 25x + 17x + 12x
            54x = 540
                x = 10
इसलिए त्रिभुज की भुजाएँ है
a = 25x10 = 250 मी, b = 17x10 = 170 मी और c = 12x10 = 120 मी

SOLUTION

समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप  = 42 सेमी
माना की समान भुजाएँ = a सेमी
आधार= (3/2)a सेमी
परिमाप 42 = a + a + (3/2)a
                 42 = 7a/2
                 a = 84/7 = 12
तब, इसका आधार = 3a/2 = (3 12)/2 = 18 सेमी

SOLUTION

त्रिभुज का क्षेत्रफल =  x b x h.   

SOLUTION

त्रिभुज का अर्धपरिमाप (s) =

जहाँ, a, b और c त्रिभुज की भुजाएं है।

SOLUTION

SOLUTION

त्रिभुज का क्षेत्रफल

= {s(s-a)(s-b)(s-c)}

SOLUTION

त्रिभुज के शीर्षलंबों का प्रतिच्छेद बिन्दु त्रिभुज का लम्बकेन्द्र कहलाता है ।

SOLUTION

SOLUTION

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2)आधार  ऊँचाई
                         =(1/2)2418

                         =12 18
                         = 216 सेमी ²

SOLUTION

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 39 सेमी ²
(1/2)(a+b)h = 39सेमी²
(1/2)(13)h = 39 सेमी²
               h = (239)/13
                  = 6 सेमी
इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई  6 सेमी है ।

SOLUTION

SOLUTION

वह बिन्दु जहाँ त्रिभुज की दो भुजाएँ  एक दूसरे को प्रतिच्छेदित करती हैं  त्रिभुज का  शीर्ष कहलाता है ।   

SOLUTION

त्रिभुज के दो शीर्षों को जोड़ने वाला रेखाखण्ड त्रिभुज की भुजा कहलाता है ।

SOLUTION

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 26 सेमी ²
(1/2)(a+b)h = 26सेमी²
(1/2)(6.5)h = 26 सेमी²
               h = (226)/6.5
                  = 8 सेमी
इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 8 सेमी है ।

SOLUTION

समकोण समद्विबाहु त्रिभुज  का क्षेत्रफल   =         (1/2) आधार ऊँचाई  = (1/2) a².

SOLUTION

SOLUTION

हम जानते है कि l = 6 x 10 = 60, b = 10 और h = 10. इसलिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल       = 2 [ lb +bh+ hl ]       = 2(60 x 10 + 10 x 10 + 10 x 60)       = 2600 सेमी ²

SOLUTION

माना कि घनाभ की चौड़ाई x मी है। तब घनाभ की ऊँचाई = x/2, और घनाभ की लम्बाई = 2x इसलिए, घनाभ का आयतन = x(x/2)2x = x³. अतः, x³ = 512 (दिया है) अर्थात,  x = 8. इसलिए, लम्बाई                = 2x = 2 x 8 = 16 सेमी

SOLUTION

माना कि नये घन की भुजा = x सेमी तब नये घन का आयतन = तीनो घनों के आयतनों का योग या, x³ = 3³ + 4³ + 5³ = 216 = 6³ या, x = 6 अत: नये घन के विकर्ण इस प्रकार है    = √(x² + x² + x²)    = x√3    = 6√3 सेमी

SOLUTION

SOLUTION

यदि a एक घन की भुजा है, तब विकर्ण = a√3 यहाँ घन का विकर्ण 10√3 सेमी हैं । अत, a = 10 सेमी होगा । इसलिए , पृष्ठीय क्षेत्रफल इस प्रकार है     = 6 a²
    = 6 x 10 x 10   = 600 सेमी ²

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

माना कि एक घन की भुजा 'a' है। हम जानते है कि एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² 6a² = 864  a² = 144   a = 12 मी

SOLUTION

SOLUTION

बाक्स का आयतन = 24 सेमी x 6 सेमी x 3 सेमी = 432 सेमी ³

SOLUTION

एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के आधार का क्षेत्रफल

SOLUTION

अभीष्ट अनुपात

SOLUTION

माना कि नये घन की भुजा= x सेमी दिया गया है, प्रत्येक x सेमी भुजा के 8 घनो का कुल आयतन = 14 सेमी भुजा के ठोस घन का आयतन 8x³ = 14³ 8x³ = 2744  x³ = 343  x = 7

SOLUTION

SOLUTION

मान लीजिए कि घन के प्रत्येक किनारे की लम्बाई a सेमी है।

इसलिए, आयतन = 1000 सेमी³

a³ = 1000

 a = 10 सेमी

इसलिए, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षे़त्रफल = 6a² सेमी² = 6 x 10² सेमी² = 600 सेमी²

SOLUTION

दिया गया है कि,

आयतन = 440 सेमी³ तथा आधार का क्षेत्रफल= 88 सेमी²

SOLUTION

SOLUTION

माना कि पहले बेलन की त्रिज्या 2x और दूसरे बेलन की त्रिज्या 5x है। माना कि पहले बेलन की ऊँचाई 1y और दूसरे बेलन की ऊँचाई 4y है।

तब उनके आयतनों का अनुपात = पहले बेलन का आयतन / दूसरे बेलन का आयतन

=R²H/r²h
=(2x)²(1y)/(5x)²(4y)
= 4x²y/25x²(4y)
= 1/25
= 1:25

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

दिये गये आँकड़ो को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है
7, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 13 और x दिये गये आँकड़ो में, हम देखते है कि 9, 11 और 13 समान बार आते है, अर्थात, 3 बार, लेकिन आँकड़ो का बहुलक 9 है। इसलिए, x का मान 9 होना चाहिए जिससे कि यह अधिक से अधिक बार आ सकता है।  

SOLUTION

औसत = (15+16+17+15+16+16+17+ 16+14+15) /10
=15.7  

SOLUTION

दिये गये आँकड़ो को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है
35, 42, 51, 56, 67, 69, 72, 81, 85, 92. ध्यान दीजिए 10/2= 5  है जो एक विषम सख्या है। इसलिए, अभीष्ट माध्यिका = (10/2)^th और [(10/2)+1]^th पद का माध्य = (5^th पद +6^th पद)/2
= (67+69)/2
= 136/2= 68

SOLUTION

SOLUTION

SOLUTION

सबसे पहले हम आँकड़ो को आरोही क्रम में इस प्रकार व्यवस्थित करते है कि 14, 14, 14, 14, 17, 18, 18, 18, 22, 23, 25, 28. यहाँ 14 सबसे ज्यादा बार आया है, अर्थात, चार बार। इसलिए बहुलक 14 है।

SOLUTION

सबसे पहले हम आँकड़ो को आरोही क्रम में इस प्रकार व्यवस्थित करते है कि 7, 7, 7, 7, 7, 9, 12, 12, 12, 13, 15, 18, 25. यहाँ 7 सबसे ज्यादा बार आया है, अर्थात, 5 बार। इसलिए बहुलक 7 है।

SOLUTION

9 प्रेक्षणों का योग = 9 × 36 = 324 पहले 5 प्रेक्षणों का योग= 5 × 32 = 160 अंतिम 5 प्रेक्षणों का योग = 5 × 36 = 180 इसलिए, 5^th प्रेक्षण = 180 + 160 – 324 = 16

SOLUTION

A + B = 50 B + C = 56 C + A = 44 __________ 2(A + B + C) = 150                            A + B + C = 75 अतः, A, B और C का औसत = (A + B + C)/3 = 75/3 = 25

SOLUTION

अभीष्ट माध्य = 420/15 = 28

SOLUTION

चूंकि 24 सबसे अधिक बार आया है, अर्थात, 3 बार। इसलिए बहुलक 24 है।

SOLUTION

वर्ग -चिन्ह = (10+20)/ 2 = 15

SOLUTION

प्रश्नानुसार,
माध्य= (6+y+7+x+14)/5 =8 x + y + 27 = 40 x + y = 13

SOLUTION

चरण1: AB+BC+CA के बराबर लम्बाई का एक रेखाखण्ड PQ खींचिए।

चरण 2: B तथा C के समान क्रमशः

LPQ और MQP बनाइये ।

चरण 3: LPQ और MQP को समद्विभाजित कीजिए। माना ये समद्विभाजक बिन्दु A पर प्रतिच्छेदित करते हैं।

चरण 4: AP का समद्विभाजक EF और AQ का समद्विभाजक GH खींचिए

चरण 5: माना EF,PQ को B पर और GH, PQ को C पर प्रतिच्छेदित करता है।

AB तथा AC को मिलाइये।

इसलिए ABC अभीष्ट त्रिभुज है ।

SOLUTION

चरण

 रचना के चरण:

·  उपयुक्त लम्बाई का एक रेखाखण्ड AB खींचिए और इस पर एक बिंदु O लीजिए।

·  O को केन्द्र मानकर, किसी त्रिज्या से कोई चाप लगाइए जो AB को C और F  काटता है।

· C को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या का चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को D पर काटता है ।

· D को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या का चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को E पर काटता है ।

·  OE  को मिलाइए और इसे P बिन्दु तक आगे बढ़ाइए।

अब हम कोण POA (अर्थात, 60°) को समद्विभाजित करते हैं।

·  E और F को केन्द्र मानकर, EF की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर और समान त्रिज्या से दो चाप लगाइए

जो आपस में G पर काटते हैं। 

·  OG को मिलाइए और इसे Q बिंदु तक आगे बढ़ाइए। 

इसप्रकार,OQ कोण POA का समद्विभाजक है।

SOLUTION

दिया हुआ है –

BC=3.4 सेमी, AB-AC=1.5 सेमी और B = 30^o,तो ∆ABC की रचना कीजिए।

रचना के चरणः

चरण 1: 3.4 सेमी लम्बाई का एक रेखाखण्ड BC खींचिए।

चरण2 : बिन्दु B पर 30^o का कोंण बनाइये।

चरण3 : किरण BX से रेखाखण्ड BD=1.5 सेमी काटिए।

चरण 4 : D को C से मिलाइये।

चरण 5 : DC का समद्विभाजक बनाइये।

चरण 6 : DC के समद्विभाजक को आगे बढ़ाइये यह किरण BX को A पर काटती है।

चरण7: A तथा C को मिलाइये।

ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

SOLUTION

रचना के चरणः

चरण1: BC=5 सेमी खींचिए।

चरण2: B पर 90^o के कोंण की रचना कीजिए।

चरण3: B को केन्द्र मानकर किरण BX पर 8 सेमी त्रिज्या का एक चाप लगाइये माना यह BX को D पर काटता है।

चरण4: D तथा C को मिलाइये और CD का लम्ब समद्विभाजक खींचिए जो BX को A पर काटता है।

चरण5: A तथा C को मिलाइये।

ABC अभीष्ट समकोंण त्रिभुज हैं।

SOLUTION

दिया हुआ है: AB+BC+CA=12 सेमी , B=45^o और C=60^o

रचना के पद :

पद 1, एक रेखाखण्ड  XY=12 सेमी खींचिए।

पद 2, बिन्दु X से 4^o का कोण बनाती हुई किरण XD तथा बिन्दु Y से 60^o कोंण बनाती हुई किरण YE खींचिए।

पद 3, X तथा Y के समद्विभाजक खींचिए । ये दोनों कोंण समद्विभाजक एक दूसरे को A पर काटते हैं।

पद 4 XA तथा YA के लम्ब समद्विभाजक खींचिए । ये समद्विभाजक XY को क्रमशः B और C पर काटते हैं।

पद 5 A को B से मिलाइये और A को C से मिलाइये।

 ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

SOLUTION

रचना के चरणः

चरण 1: एक रेखाखंड AB = 5.8 सेमी खींचिए।

चरण 2: XBA = 45° खींचिए।

चरण 3: केन्द्र B और त्रिज्या 8.4 सेमी के साथ, एक चाप काटिये जो BX को D पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 4: D को A से मिलाइए।

चरण 5: रेखाखंड DA का लम्ब समद्विभाजक खीचिए। यह रेखाखंड BD को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।

चरण 6: C को A से मिलाइए।

ABC एक अभीष्ट त्रिभुज है।

SOLUTION

रचना के चरण :

1. एक रेखा खण्ड AB उपयुक्त लम्बाई का खींचिए।

2. A को केन्द्र मानकर,कोई भी त्रिज्या लेकर एक चाप लगाइए जो AB को C पर काटता है।

3. C को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या से एक और चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को D पर काटता है ।

4. D को केन्द्र मानकर, उसी त्रिज्या से एक और चाप लगाइए जो पहले वाले चाप को F पर काटता है ।

5. D और F को केन्द्र मानकर और DF की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर दो चाप लगाइए जो एक दूसरे को G पर काटते हैं।।

6. A और G को मिलाइए और इसे H तक आगे बढ़ाइए।

अब, हम कोण HAB (अर्थात, 90°)को समद्विभाजित करते हैं।

7. C और E को केन्द्र मानकर और CE की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर, दो चाप लगाइए जो एक दूसरे को K पर काटते हैं।

8. A और K मिलाइए और इसे L बिन्दु तक आगे बढ़ाइए।

अब, हम कोण HAL (अर्थात, 45°)को समद्विभाजित करते हैं।

9. N और E को केन्द्र मानकर और NE की आधे से अधिक त्रिज्या लेकर, दो चाप लगाइए जो एक दूसरे को P पर काटते हैं।

10. A और P को मिलाइए और इसे M तक आगे बढ़ाइए।

कोण MAB (अर्थात, 67.5°) अभीष्ट कोण है।